Zadania prowadzące do równań kwadratowych - pomocy

Cytat: sylwia236 Październik 26, 2008, 11:47:40

1. Z kwadratowego arkusza tektury wycieto na rogach 4kwadraciki o boku 5cm i wykonano pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku tego arkusza,wiedząc,że objętość otrzymanego pudełka wynosi 2 dm(sześcienne)

x = 5 cm = 0,5 dm (zmiana jednostek na decymetry [ze względu na objętość])
V = $2 dm^3$
b = a + 2x = ? ? ?

Wiemy, że Objętość powstałego pudełka to iloczyn pola podstawy i wysokości tej bryły. W podstawie mamy kwadrat.
$V = a^2 \cdot x$
Podstawiamy:
$2 = a^2 \cdot 0,5 \\ 2 = \frac{1}{2} \cdot a^2 \\ 4 = a^2 \\ a = 2 \text{\quad [dm]}$
Mając a orax x wyliczymy szukane b:
$b = a + 2x \\ b = 2 + 2\cdot 0,5 \\ b = 2 + 1 \\ b = 3 \text{\quad [dm]}$

ODPOWIEDŹ: Długość boku arkusza wynosi 3 dm.

Cytat: sylwia236 Październik 26, 2008, 11:47:40

2. Przednie koło wozu,mające obwód o 150cm mniejszy od obwodu koła tylnego, wykonało na drodze 300m o 100obrotów więcej niż tylne koło. Ile obrotów wykonała na tej drodze tylne koło?

Koło 1 ma obwód $obw_1$ , oznaczę go jako x;
Koło 2 ma obwód $obw_2$ , oznaczę go jako y;
Wiemy, że y = x + 1,5 (te 1,5 to metry, zamienione ze 150cm podanych w zadaniu, ze względu na późniejsze jednostki)
Dalej, oznaczę sobie:
z - ilość obrotów koła 2
t - ilość obotów koła 1
Koło ma pewien obwód podany w metrach. Koło to obraca się kilka razy tak długo, aż przejedzie te 300m. Stąd mamy:
$300 = z\cdot y$ (dla dużego koła [2] ) oraz $300 = t\cdot x$ (dla małego koła [1] )
Tworzy nam się układ równań:
$\left{ \begin{array}{ll} 300 = z\cdot y \\ 300 = t\cdot x \end{array}$
Z treści zadania wiemy, że duże koło wykonało o 100 obrotów mniej niż małe, z tego wynika, że $z = t - 100$ . To + wcześniejsze założenie co do zależności dwóch obwodów możemy podstawić do jednego równania w powyższym układzie równań.
$\left{ \begin{array}{ll} 300 = (t-100)\cdot (x+1,5) \\ 300 = t\cdot x \end{array}$
Mamy teraz układ dwóch równań, z dwiema niewiadomymi, gdzie interesuje nas t, stąd z drugiego równania wyznaczymy "x", podstawimy do pierwszego i wyjdzie równanie kwadratowe z szukanym t, które trzeba będzie rozwiązać.
$\left{ \begin{array}{ll} 300 = (t-100)\cdot (x+1,5) \\ x = \frac{300}{t} \end{array}$
$\left{ \begin{array}{ll} 300 = (t-100)\cdot (\frac{300}{t}+1,5) \\ x = \frac{300}{t} \end{array}$
Zajmijmy się tylko pierwszym równaniem, reszta nas nie interesuje.
$300 = (t-100)\cdot (\frac{300}{t}+1,5) \\ 300 = 300 + 1,5t - \frac{30000}{t} - 150 \\ 1,5t - \frac{30000}{t} - 150 = 0 \qquad /\cdot t \\ \frac{3}{2}t^2 - 150t - 30000 = 0 \qquad /:\frac{3}{2} \\ t^2 - 100t - 20000 = 0 \\ \Delta = (-100)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-20 000) = 10000 + 80000 = 90000 \\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{90000} = 300 \\ t_1 = \frac{100-300}{2} = -100 \\ t_2 = \frac{100+300}{2} = 200$
Ilość obrotów nie może być liczbą ujemną, więc zostaje nam tylko t = 200

Tyle obrotów wykonało koło PRZEDNIE. Wykonało o 100 obrotów więcej niż koło TYLNE. Z tego więc wynika, że koło tylne wykonało 100 obrotów.

ODPOWIEDŹ: Tylne koło wykonało 100 obrotów.

Cytat: sylwia236 Październik 26, 2008, 11:47:40

3. Tylne koło wozu mające obwód o 1,5m większy od obwodu przedniego koło,wykonało na drodze 150, o 50 obrotów mniej niż przednie koło. Jaki był obwód większego koła?

Zadanie bardzo podobne do zadania wyższego, tylko z układu równań, trzeba wyliczyć zmienną odpowiadającą za obwód (x lub y), a nie tak jak powyżej odpowiadającą za ilość obrotów (z lub t). Spróbuj sama to obliczyć, nie zaszkodzi, dla ułatwienia podam układ równań (dla IDENTYCZNYCH oznaczeń jak w zad. 2) oraz wynik:
$\left{ \begin{array}{ll} 150 = (t-50)\cdot (x+1,5) \\ 150 = t\cdot x \end{array}$
x = 3, więc y = 4,5 [m]

Cytat: sylwia236 Październik 26, 2008, 11:47:40

4. Oblicz długość ogrodzenia działki prostokątnej, której długość jest większa od szerokości o 20metrów i której pole wynosi 0,24 ha.

a, b - odpowiednio długość i szerokośc działki
P = $a \cdot b$ = 0,24 ha
a = b+20 [m]
Kolidują jednostki, Warto zamienić hektary na metry (kwadratowe). 1 ha to kwadrat $100m \times 100m$ , a więc $1ha = 10000m^2$
Z tego wszystkiego mamy, że:
$a \cdot b = 0,24 \cdot 10000 m^2 \\ (b+20)\cdot b = 2400 \\ b^2 + 20b - 2400 = 0 \\ \Delta = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{10000} = 100 \\ b_1 = \frac{-20-100}{2} = -60 \\ b_2 = \frac{-20+100}{2} = 40$
Wymiary nie mogą być ujemne, więc mamy, że b = 40 [m], z tego wynika, że a = 40 + 20 = 60 [m]
Szukamy obwodu tej działki, czyli $2a + 2b$ , więc wynikiem ostatecznym jest 200 [m]
ODPOWIEDŹ: Długość ogrodzenia działki wynosi 200m.

Cytat: sylwia236 Październik 26, 2008, 11:47:40

5. Z prostokątnego arkusza blachy wycięto na rogach 4kwadraciki o boku 10cm i wykonano prostopadłościenne naczynie bez przykrywki o objętości 3dm(sześciennych) obwód arkusza blachy wynosił 1,5metra. Jakie wymiary miał ten arkusz?

x = 10 cm = 1dm (zmiana jednostki ze względu na objętość)
b = c + 2x
a = d + 2x
2a + 2b = 1,5m = 15dm (zmiana jednostki ze wzgledu na objętośc)
$V = 3dm^3$

$V = c \cdot d \cdot x \\ 3 = 2cd$
$b = c+2 \\ a = d+2 \\ 2(c+2) + 2(d+2) = 15 \\ 2c + 4 + 2d + 4 = 15 \\ 2c + 2d = 7$
Tworzymy układ równań:
$\left{ \begin{array}{ll} 3 = 2cd \\ 2c+2d = 7 \end{array}$
$\left{ \begin{array}{ll} 2d = \frac{3}{c} \\ 2c+2d = 7 \end{array}$
$\left{ \begin{array}{ll} 2d = \frac{3}{c} \\ 2c+\frac{3}{c} = 7 \qquad /\cdot c \end{array}$
$\left{ \begin{array}{ll} 2d = \frac{3}{c} \\ 2c^2-7c+3 = 0 \qquad /\cdot c \end{array}$
Skupmy się na drugim równaniu.
$2c^2 - 7c + 3 = 0 \\ \Delta = (-7)^2 - 4\cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5 \\ c_1 = \frac{7-5}{4}=\frac{1}{2} \\ c_2 = \frac{7+5}{4} = 3$ .
Mamy więc dwa różne wymiary c, podane w [dm]. Obydwa wyniki są możliwe, w zależności od nich będziemy mieli dwa różne wymiary d, wracamy więc do pierwszego równania:
$2d = \frac{3}{c} \\ 2d_1 = \frac{3}{c_1} \\ 2d_2 = \frac{3}{c_2} \\ d_1 = 3 \\ d_2 = \frac{1}{2}$ .
Widzimy ciekawą zależność, że w obydwóch przypadkach wymiary podstawy tego naczynia wynoszą $3dm\quad \times \quad 0,5dm$ .
Możemy więc wybrać jakikolwiek z nich, gdyż ostateczny wynik nie zmieni się. Wybiorę $c_1$ i $d_1$ .
$a = d + 2 \\ a = 3 + 2 \\ a = 5 [dm] \\ b = c + 2 \\ b = 0,5 + 2 = 2,5 [dm]$ .
Wobec czego:

ODPOWIEDŹ: Arkusz miał wymiary $5dm \quad \times \quad 2,5 dm$

- - - - - - - - -

Nie powinno być błędów, ale nie ręczę za to głową Mrugnięcie

W razie pytań, nieścisłości - śmiało Mrugnięcie