Równości i nierówności wykładnicze.

Cytuj

1 zadanie.
3*2^(-2/x) + 6^(-1/x) = 2*9^(-1/x)

$3\cdot 2^{-\frac{2}{x}} + 6^{-\frac{1}{x}} = 2\cdot 9^{-\frac{1}{x}} \\ -\frac{1}{x} = t \\ 3\cdot 2^{2t} + 6^t = 2\cdot 3^{2t} \qquad /:(2\cdot 3^{2t}) \\ \frac{3\cdot 2^{2t}}{2\cdot 3^{2t}} - \frac{2^t \cdot 3^t}{2\cdot 3^{2t}} = 1 \\ 3^{1-2t} \cdot 2^{2t-1} - 2^{t-1} \cdot 3^{-t} = 1 \\ 3^{1-2t} \cdot (\frac{1}{2})^{1-2t} - 2^{t-1} \cdot (\frac{1}{3})^{t-1} \cdot \frac{1}{3} = 1 \\ (\frac{3}{2})^{1-2t} - \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{t-1} = 1 \\ (\frac{2}{3})^{2t-1} - \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{t-1} = 1 \\ (\frac{2}{3})^{1-t}((\frac{2}{3})^t - \frac{1}{3}) = 1 \\ (\frac{2}{3})^{t-1} = (\frac{2}{3})^t - \frac{1}{3} \qquad /\cdot (\frac{2}{3})^t \\ \frac{2}{3} = (\frac{2}{3})^{2t} - \frac{1}{3}\cdot (\frac{2}{3})^t \\ (\frac{2}{3})^t = p \\ p^2 - \frac{1}{3}p - \frac{2}{3} = 0 \\ (p+\frac{2}{3})(p-1)=0 \\ p = 1 \qquad \vee \qquad p = -\frac{2}{3} \\ (\frac{2}{3})^t = 1 \qquad \vee \qquad (\frac{2}{3})^t = -\frac{2}{3} \text{<---sprzeczne, funkcja wykladnicza nie jest ujemna} \\ (\frac{2}{3})^t = 1 \\ t = 0 \\ -\frac{1}{x} = 0 \text{<--- sprzeczne, a wiec brak takiego x}$

Cytuj

2. zadanie

7^(-x) - 3*7^(x+1)>4

$7^{-x} - 3\cdot 7^{x+1} > 4 \\ 7^{-x} - 3 \cdot 7 \cdot 7^x > 4 \\ \frac{1}{7^x} - 21\cdot 7^x > 4 \\ \text{podstawiam teraz 7^x = t} \\ \frac{1}{t} - 21t > 4 \\ \frac{1}{t} > 4 + 21t \\ \text{moge mnozyc przez t, poniewaz t jest wieksze od zera} \\ 1>4t+21t^2 \\ 21t^2 + 4t - 1 < 0 \\ \text{po wyliczeniu delty, pierwiastkow dochodze do postaci:} \\ (t-\frac{1}{7})(t+\frac{1}{3}) < 0 \\ t\in (-\frac{1}{3}; \frac{1}{7}) \\ t > -\frac{1}{3} \qquad \wedge \qquad t < \frac{1}{7} \\ \text{wracam do podstawienia} \\ 7^x > -\frac{1}{3} \text{(jest ZAWSZE spelnione)} \qquad \wedge \qquad 7^x < \frac{1}{7} \\ x<-1$

- - - - - - - - - -

Cytuj

3. zadanie

5^x - 3^(x+1) > 2(5^(x-1) - 3^(x-2))

$5^x - 3^{x+1}>2(5^{x-1}-3^{x-1}) \\ 5^x - 3^{x-1} > 2\cdot 5^{x-1} - 2\cdot 3^{x-2} \\ -3^{x+1} + 2\cdot 3^{x-2} > 2\cdot 5^{x-1} - 5^x \\ 2\cdot 3^{x-2}-3^3 \cdot 3^{x-2} > 2\cdot 5^{x-1} - 5\cdot 5^{x-1} \\ 3^{x-2} \cdot (2-3^3) > 5^{x-1}(2-5) \\ 3^{x-2}(-25) > 5^{x-1}\cdot (-3) \\ 3^{x-3}\cdot 25 < 5^{x-1} \\ 3^{x-3} < \frac{5^{x-1}}{5^2} \\ 3^{x-3} < 5^{x-3} \\ \text{moge podzielic, poniewaz 3^{x-3} jest wieksze od zera} \\ \frac{5^{x-3}}{3^{x-3}} > 1 \\ (\frac{5}{3})^{x-3} > 1 \\ (\frac{5}{3})^{x-3} > (\frac{5}{3})^0 \\ x - 3 > 0 \\ x > 3$

NIE GWARANTUJE ZE NIE MA BŁEDÓW !