Tu trza trochę porządków.
===========================================================
1) Trójkąt równoramienny o podstawie długośc 4 wpisany jest w okrąg o pomieniu długości 3. Oblicz pole tego trójkąta.
2) Znajdź proień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długośc 5 i 12.
3) Jaką długość ma bok kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu długości 5.

Rozwiązania:
1)
RYSUNEK:
Kod
http://img57.imageshack.u.../my.php?image=zad1pz7.jpg


Wprowadzamy dane:
a = 4
R = 3
Oraz wzór na pole trójkąta:
P = 1/2 * H * a
Musi być również założenie, że a,R,x > 0 (ponieważ długości odcinków nie mogą przyjmować wartości ujemnych)

Na rysunku mamy zaznaczone, że nasze H = R + x
Czyli nasz wzór na Pole przyjmuje postać: 1/2 * a * (R + x)
"a" i "R" mamy podane, więc do "pełni szczęścia" brakuje nam "x"

Te "x" wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa na tym małym trójkącie, gdzie zaznaczony jest kąt prosty.

Więc pojawia się wzór : (1/2 a)^2 + x^2 = R^2 [przypominam, że "^" w języku internetowym oznacza potęgę]

Teraz do tego powyższego twierdzenia wstawiamy to co mamy (czyli a i R) i liczymy:

(1/2 * 4)^2 + x^2 = 3^2
2^2 + x^2 = 3^2
4 + x^2 = 9
x^2 = 5
czyli x = pierwiastek z 5 LUB x = - pierwiastek z 5
do tego drugiego, ujemnego rozwiązania dajemy strzałkę i piszemy: "odrzucamy", ponieważ z naszych wcześniejszych założeń wynika, że długości odcinków przyjmują wartości DODATNIE.

czyli zostaje: x = pierwiastek z 5
Podstawiamy do H, gdzie H = R + x
czyli wychodzi, że H = 3 + pierw. z 5.

No to teraz podstawiamy do wzoru na Pole:

P = 1/2 * 4 * (3 + pierw. z 5) = 2 * (3 + pierw. z 5).
Można zostawić w takiej postaci, można wymnożyć: P = 6 + 2 pierw. z 5.

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 6 + 2 pierwiastki z 5. <= ewentualnie wpisujemy tą wcześniejszą wartość, z nawiasem.

----------

2)
RYSUNEK:
Kod
http://img234.imageshack..../my.php?image=zad2zf7.jpg


Ponownie wprowadzamy oznaczenia:
a = 12
b = 5

d = 2R <= to wzięło się z twierdzenia, że punkt przecięcia się przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego na tym prostokącie.

Oraz założenia: a,b,d,R>0 (wyjaśnienie takie jak w zad. 1)

d obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z zaznaczonego niebieską linią trójkąta:

d^2 = a^2 + b^2

Podstawiamy:
d^2 = 5^2 + 12^2
d^2 = 25 + 144
d^2 = 169
d = pierwiastek z 13 LUB d = - pierwiastek z 13. Również musimy odrzucić drugie rozwiązanie (zapisać to że odrzucamy !), ponieważ nie zgadza sie z założeniem.

d = 2R => R = d/2

R = 13/2
R = 7,5

Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi 7,5

----------

3)
RYSUNEK:
Kod
http://img488.imageshack..../my.php?image=zad3ex0.jpg


Ponownie oznaczenia: R = 5

D = 2R (z tego samego twierdzenia, co w zad.2)

oraz założenia: D,R,a>0

Wiemy, że czworokątem wpisanym w dany okrąg jest kwadrat. Istnieje wzór na przekątną kwadratu o boku równym "a", powinnaś go znać. Jest to wzór: D = a * pierwiastek z 2. Jeśli go nie znasz, można go wyprowadzić z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z połowy kwadratu. Mamy wtedy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych równych "a" i przeciwprostokątnej równej "D". Stąd tworzymy wzór na podstawie Tw. Pitagorasa:

D^2 = a^2 + a^2
D^2 = 2*a^2
D^2 = a^2 * 2 <= teraz pierwiastkujemy
D = a * pierwiastek z 2.

Stąd mamy wzór, że przekątna D kwadratu o boku "a" jest równa: D = a*pierwiastek z 2.

Wiemy, że D = 2R, czyli D = 10

Podstawiamy do wyprowadzonego wzoru:

10 = a * pierwiastek z 2 /: pierwiastek z 2
10/pierwiastek z 2 = a /usuwamy niewymierność z mianownika
a = 10/pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2/pierwiastek z 2
a = 10 pierwiastków z 2/2
a = 5 pierwiastów z 2

Odpowiedź: Bok kwadratu wpisanego w ten okrąg wynosi 5 pierwiastków z 2
==========================================================

ZADANIE 1)


Skorzystaj tylko z tego:


Masz wzór na pole powierzchni całkowitej "S". Skorzystaj tylko z tego pierwszego, bez zaokrągleń, wartość ma być dokładna, z pierwiastkami. "a" oczywiście to długość jednej krawędzi tych czworościanów. Nie pytaj skąd się wziął ten wzór, bo nie wiem jak go wyjaśnić   Ale w większości przypadków korzysta się z książek lub internetu

----------

ZADANIE 2)


Bez wyobraźni przestrzennej możesz mieć problem. W każdym razie spróbuj wytężyć wzrok na ten rysunek. Częścią wspólną będzie to, co jest w środku bez tych piramidek. Albo inaczej. Powycinaj po prostu te piramidki. Spróbuj się zastanowić, a potem przeczytaj to, co napiszę niżej.

Szukaną bryłą jest ośmiościan foremny, z czego wniosek - bryła ma 8 ścian. Taką bryłę tworzy się poprzez złączenie dwóch identycznych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych podstawami (kwadratami). W TYM wypadku, każdą ze ścian jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest 4x mniejsze od pola powierzchni jednego dużego trójkąta o podanym boku. Wynika to z rysunku, jak się przyjrzysz. Pole całego ośmiościany jest równe 8 * pole małego trójkąta równobocznego, czyli 8*1/4*pole dużego trójkąta. Pole trójkąta równobocznego to [napiszę słownie]: "a kwadrat pierwiastek z trzech przez cztery" . Nasze "a" = 10 (wynika z treści zadania). Podstawiamy do wzoru:

Pc {pole powierzchni całkowitej}

Pc = 8 * 1/4 * 10^2 * pierw. z 3 / 4 = 2 * 100 pierw. z 3 przez 4 = 50 pierw. z 3

Pc = 50 pierwiastków z 3 [cm^2]

----------

ZADANIE 3)


RYSUNEK:


Wypisujemy najpierw Dane:
Pb = 4Pp
a = 6cm

Wzór na to, czego szukamy, czyli:
V = 1/3 * a^2 * H

Oraz założenia:
a > 0
h > 0
H >0

Teraz rozwiązanie:

Jeżeli Pb = 4Pp

Pb to 4 * 1/2 a * h czyli 2 * a * h

Mamy wzór:

2ah = 4a^2

Wiemy, że a = 6, więc podstawiamy i zaczynamy upraszczać te równanie:

12h = 4*36 /:12
h = 12

Teraz mamy zaznaczony trójkąt prostokątny o przyprostokątnych H i 1/2 a oraz przeciwprostokątnej h. Mając znane już wartości a i h z Twierdzenia Pitagorasa wyliczymy długość przyprostokątnej H, która jest potrzebna do obliczenia szukanej objętości.

(1/2 a)^2 + H^2 = h^2
3^2 + H^2 = 12^2
9 + H^2 = 144 /-9
H^2 = 135 /pierwiastkujemy
H = pierwiastek ze 135 lub H = -pierwiastek ze 135

Drugi wynik odrzucamy, bo H > 0

H = pierwiastek ze 135 = 3 pierwiastki z 15.

Podstawiamy do wzoru na V:

V = 1/3 * a * H
V = 1/3 * 6 * 3 pierwiastki z 15 = 6 pierwiastków z 15.

V = 6 pierwiastków z 15 [cm^3]

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 6 pierwiastków z 15 [cm^3].

----------

ZADANIE 4:


A jak myślisz ?

Odpowiedź: NIE MOŻE

Pytanie tylko dlaczego? Odpowiedź jest oczywista: Wtedy nie byłby to ostrosłup, tylko sama w sobie podstawa, czyli FIGURA (płaszczyzna) a nie BRY£A (przestrzeń). Pole całkowite MUSI być większe od pola podstawy, aby oprócz tej podstawy były jeszcze ściany. Wtedy to dopiero będzie ostrosłupem.

Może trochę chaotycznie, ale nie wiem jak to można dokładniej wyjaśnić  

----------

ZADANIE 5)


Mam nadzieję, że chodzi o ostrosłup prawidłowy...

RYSUNEK:


Dane:
V = 60cm^3
H = 10cm
d2 = 2d1

a = ?

Założenia:
a,H,d1,d2,V > 0

Rozwiązujemy:

Wiemy, że V = 1/3 Pp * H
Oraz, że Pp = 1/2 * d1 * d2. Podstawiamy:

V = 1/3 * 1/2 * d1 * d2 * H

Korzystamy z danych i podstawiamy to, co znamy:

60 = 1/6 * 3 * d1^2 * 10

Upraszczamy i rozwiązujemy powyższe równanie:

60 = 3 * 10 * 1/6 * d1^2
60 = 5 * d1^2 /:5
12 = d1^2 /pierwiastkujemy
d1 = pierwiastek z 12 lub d1 = -pierwiastek z 12.
Ujemny wynik odrzucamy, bo d1 > 0
d1 = pierwiastek z 12 = 2 pierwiastki z 3
d1 = 2 pierw. z 3

W podstawie mamy romb, który jest podzielony na 4 przystające trójkąty prostokątne (nie zaznaczyłem kąta prostego, sorki) o przyprostokątnych równych 1/2 d1 i 1/2 d2 oraz przeciwprostokątnej równej a, którego szukamy. Tworzymy wzór korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

(1/2 d1)^2 + (1/2 d2)^2 = a^2 <= za d2 wstawiamy 2*d1
(1/2 d1)^2 + (1/2 * 2 * d1)^2 = a^2
(1/2 d1)^2 + d1^2 = a^2 <= wstawiamy wartość d1, którą obliczyliśmy wcześniej i obliczamy szukane "a".

a^2 = (1/2 * 2 * pierwiastek z 3)^2 + (2 pierwiastki z 3)^2
a^2 = (pierwiastek z 3) ^2 + 12
a^2 = 3 + 12
a^2 = 15 /pierwiastkujemy
a = pierwiastek z 15 lub a = -pierwiastek z 15
Ujemny wynik odrzucamy, bo a > 0

a = pierwiastek z 15 [cm]

Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa wynosi pierwiastek z 15 [cm].

----------

Nie powinno być błędu, ale nie daję głowy.

Pozdrawiam, RtMvS
==========================================================


Najpierw rysunek wraz z danymi (niektóre wynikają z rysunku):


Nie mamy liczb, naszymi liczbami są tu litery h i r.

Piszemy zależność na podobieńtwo trójkątów:
Δ ADC ~ Δ EOC <=> r/|AD| = (h-r)/|AC| = |CE|/h

Z Δ EOC wyciągamy wniosek, że |EC|^2 + r^2 = (h-r)^2, a z tego wynika, że
...........___________
|EC|=√(h-r)^2 - r^2

Dalej: |AC|=|EC| |AE|, a skoro |AE|=|AD|,to ostatecznie mamy równanie |AC|=|EC|+|AD|

Korzystamy z wcześniejszej cechy podobieństwa trójkątów r/|AD|=(h-r)/|AC| i z tego wyciągamy, że |AD|=r*|AC|/(h-r)

Podstawiamy do równania na |AC| obie wielkości |EC| i |AD|:
.............___________
|AC| = √(h-r)^2 - r^2 + r*|AC|/(h-r)

Mamy więc równanie z jedną niewiadomą (|AC|), które rozwiązujemy:
.............__________________
|AC| = √h^2 - 2hr + r^2 - r^2  + r*|AC|/(h-r)
.............________
|AC| = √h^2 - 2hr  + r*|AC|/(h-r)
.............______
|AC| = √h(h-2r)  + r*|AC|/(h-r)
..................................______
|AC| - r*|AC|/(h-r) = √h(h-2r)
................................______
|AC|*(1 - r/(h-r)) = √h(h-2r)
............................................______
|AC|*[(h-r)/(h-r) - r/(h-r)] = √h(h-2r)
..................................______
|AC|*[(h-2r)/(h-r)] = √h(h-2r)  /( )^2

|AC|^2 * (h-2r)^2/(h-r)^2 = h(h-2r)  /:(h-2r)

|AC|^2 * (h-2r)/(h-r)^2 = h  /:(h-2r)/(h-r)^2
...........................................__
|AC|^2 = h*(h-r)^2/(h-2r) /√
......................_..._____
|AC| = (h-r)*√h/√(h-2r) <=wyciągamy niewymierność z mianownika i ostatecznie mamy:
.........................._______
|AC| = (h-r)*√h^2-2rh /(h-2r) = |BC|

Mając obliczone |AC| wracamy do wzoru na |AD|:

|AD| = r*|AC|/(h-r)

i podstawiamy:
..........................._______
|AD| = r * (h-r)*√h^2-2rh /(h-2r) * 1/(h-r) [(h-r) nam się redukuje]
................_______
|AD| = r*√h^2-2hr /(h-2r)

|AB|=2*|AD|, czyli:
......................_______
|AB| = 2r*√h^2-2hr /(h-2r)

Pogrubione to ostateczne wyniki - długości boków Î�równoramiennego ABC, zależne od wartości h i r.
==========================================================



na podstawie rysunku.

cos alfa = b/c
{
a^2 + b^2 = c^2

Tworzymy taki układ równań.

8/17 = b/c
{
256 + b^2 = c^2

b = 8c/17
{
256 + b^2 = c^2

Podstawiamy z pierwszego do drugiego i skupiamy się na drugim:

256 + (8c/17)^2 = c^2
256 + 64c^2/289 = c^2 /*289
73984 + 64c^2 = 289c^2 /-64c^2
73984 = 225c^2 /:225
73984/225 = c^2 /pierwiastkujemy
272/15 = c

Wracamy do 1 równania:

b = 8c/17
b = 8 * 272/15 * 1/17 = 8 * 16/15 = 128/15

b = 128/15
c = 272/15

--------------------


Zrób analogicznie jak w pdpkt-cie a)

Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dluższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu.

Prawdopodobnie wygląda to tak (na przyszłość proszę o skan rysunku, lub przykładowe coś w paint'cie chociazby):


No więc musimy po prostu policzyć pole trójkąta o podsatwie 1,8m i wysokosci 1,8m. Wzór na pole trójkąta:
.

A więc:
.

Pole trójkąta: .
Mamy h zmniejszone 3 razy, więc:
.

Skoro wczesniej takie pole = 144, to mamy równanie:
.

Różnica: .
A więc Pole zmniejszyło się o .

Co do trzykrotnego zmniejszenia "a": zwróć uwagę, że w iloczynie we wzorze na pole ten ułamek pojawi się tylko w innym miejscu, geneza jest ta sama, pole również będzie się różniło o 96 [cm kw.].

Co można zauważyć ? Że niezależnie co zmienimy, czy podstawę czy wysokość, czy skrócimy jedną z nich n-krotnie, czy też zwiększymy n-krotnie, to różnica w polu zawsze będzie taka sama.

Wskazówki:
Masz romb, o przekątnej d1 = 12, d2 = ? i boku "a"= ?.
Zadanie jest niesprecyzowane, nie wiadomo, o jaką przekątną chodzi. Ale zakładam w tym momencie, że chodzi o podaną przekątną.
"podwojona długość boku jest o 4cm dłuższa od przekątnej" tworzy nam równanie:
2a = d1 + 4.
d1 masz podane, wyliczasz "a". Nastepnie z pitagorasa wyliczasz drugą przekątną. Potem podstawiasz do wzoru na pole d1 * d2 przez 2 i juz.



Jeśli dobrze rozumiem, to w tym momencie punkt A jest środkiem okręgu, bo jeśli z niego mamy poprowadzić dwie prostopadłe cięciwy, to one się muszą przeciąc własnie w tym punkcie. Na dodatek skoro są równej długości, to one wyznaczają pewien okrąg (koło). Połowa takiej cięciwy jest równa promieniowi koła o podanym polu. Z tego już wyliczysz ten promien, przemnożysz przez 2 i otrzymasz długość cięciwy.

To zadanie jest bez sensu szczerze mówiąc, na pewno jest dobrze napisane ?

Jakoś nie potrafię tego sobie wyobrazić :|

Wielkie dzięki  

W drugim zadaniu dobrze wszystko przepisałem oprócz jednego zdania :cool: A więc:
Z punktu A należącego do okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy równej długości. Oblicz ich długość, jeżeli pole koła jest równe 64pi cm². Z jakiego twierdzenie korzystasz

Do odpowiedniego działu!

Skoro druga przekątna do 150% pierwszej, to:
d1=7
d2=1,5*7=10,5

Ze wzoru na pole mamy:
P=(d1*d2)/2=73,5/2=36,75 [cm²]