Ogólnie rzecz biorąc wszystko sprowadza się do wzoru:
[tex]K_c = Kcdot (1+r)^n[/tex], gdzie:
Kc - kapitał całkowity (końcowy);
K - kapitał wpłacony (początkowy);
r - oprocentowanie (podajemy [tex]r%[/tex] albo [tex]frac{r}{100}[/tex]);
n - ilość lat.

Sprawdźmy oba konta po jednym roku:
1)
[tex]K_c = 500cdot (1+frac{9}{100})^1 = 500cdot (frac{100}{100} + frac{9}{100})^1 = 500 cdot frac{109}{100} = 5 cdot 109 = underline{545 [zl]}[/tex]

2)
[tex]K_c = 480cdot (1+frac{12}{100})^1 = 480 cdot (frac{112}{100})^1 = 4,8 cdot 112 = underline{537,60 [zl]}[/tex].

A więc na jeden rok bardziej korzystne jest ulokowanie 500 zł na lokacie 9%.

Teraz dwa lata:
1)
[tex]K_c = 500cdot (1+frac{9}{100})^2 = 500cdot (frac{109}{100})^2 = 500cdot frac{11881}{10000} = underline{594,05 [zl]}[/tex]

2)
[tex]K_c = 480 cdot (1+frac{12}{100})^2 = 480 cdot (frac{112}{100})^2 = 480 cdot frac{12544}{10000} = underline{602,11 [zl]}[/tex]

Więc na dwa lata korzystniejsze będzie 480 zł na lokacie 12%.

1. Wystarczy odrobina wyobraźni do tego zadania.
Skoro to półkole i obraca się wokół najdłuższej cięciwy, to powstaje bryła, która jest wycinkiem  kuli. (Dokładniej 1/3 kul, bo obrót był o 120 [st]).

Objętość kuli:
[tex]V=frac {4}{3} cdot pi r^{3}[/tex]

Zatem objętość tego wycinka:
[tex]V=frac {1}{3} cdot frac {4}{3} cdot pi r^{3}[/tex], gdzie r to połowa największej cięciwy, czyli 3

Z tego wychodzi:
[tex]V=frac {4}{9} cdot pi 3^{3}=12 pi[/tex]

1a:


Zdarzenie A - wylosowano 3 kule czarne.

P(A) to po prostu suma iloczynów na wszystkich mozliwych gałęziach (zaznaczonych na czerwono).

A więc: [tex]P(A) = frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{6}{10} + frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot + frac{4}{10} cdot frac{6}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} + frac{6}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} cdot frac{4}{10} = 4 cdot frac{6}{10} cdot  frac{4}{10} cdot  frac{4}{10} cdot  frac{4}{10} cdot = frac{384}{10000} = underline{0,0384}[/tex].

1b - analogicznie jak 1a:



[tex]P(A) = frac{4}{10} cdot  frac{3}{9} cdot  frac{2}{8} cdot  frac{6}{7} + frac{4}{10} cdot  frac{3}{9} cdot  frac{6}{8} cdot  frac{2}{7} + frac{4}{10} cdot  frac{6}{9} cdot  frac{3}{8} cdot  frac{2}{7} + frac{6}{10} cdot  frac{4}{9} cdot  frac{3}{8} cdot  frac{2}{7} = 4 cdot frac{4cdot 3 cdot 2 cdot 6}{10 cdot 9 cdot 8 cdot 7} = frac{576}{5040} approx underline{0,1143} [/tex]

A więc bardziej prawdopodobne jest losowanie b.

Zad 2.

Też drzewko:



Zdarzenie A - z wylosowanych długości da się stworzyć trójkąt prostokątny.

Chodzi o to, że boki trójkata prostokątnego (a,b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna) muszą spełniać Twierdzenie Pitagorasa:
[tex]a^2 + b^2 = c^2 [/tex].

Jest tylko jedna taka możliwość, słynna trójka pitagorejska 3,4,5
[tex]3^2 + 4^2 = 5^2 \\ 9 + 16 = 25 \\ 25 = 25 [/tex].

A więc spośród wszystkich 5 długości tylko 3 spełniają taki warunek. Losujemy bez zwracania (inaczej nie miałoby to sensu). W każdym z 3 losowań powinniśmy wyciągnąc jeden z tych 3 boków.  

A więc:
[tex]P(A) = frac{3}{5} cdot frac{2}{4} cdot frac{1}{3} = frac{6}{60} = frac{1}{10} = underline{0,1}[/tex]

Rozwiązania do zadań

Poniżej sam tok rozwiązywania. Wykorzystano same podstawy geometrii na poziomie podstawowym, który już nie jednokrotnie był wykorzystywany wcześniej (materiał ponadpodstawowy będzie zaznaczony), więc zakładam, że przejścia będą zrozumiałe.

P_c=pi r(a + l)=pi cdot 10 cdot (10 + 20)=300 pi[/tex]

P_c=4 pi R^2[/tex]

Zatem:
[tex]P_c=4r(a-r) pi[/tex]

ZADANIA 1-6

ZADANIE 1

Jak widać na rysunku, pole zamalowanej figury to po prostu pole dużego koła minus pole małego koła.

Jeśli mamy jakikolwiek okrąg (jakiekolwiek koło) o promieniu r, to jego pole przejawia się wzorem [tex]pi r^2[/tex].

Duże koło ma promień 12, a więc jego pole to [tex]pi cdot 12^2 = 144pi[/tex].

Małe koło ma średnicę 10, a więc promień 5. Jego pole wynosi więc [tex]pi cdot 5^2 = 25pi[/tex].

A więc szukane pole to [tex]144pi - 25pi = underline{119pi}[/tex].

- - - - -

ZADANIE 2

Jeśli bok kwadratu ma długość a (a = 8 cm), to okrąg WPISANY w ten kwadrat ma promień równy [tex]frac{1}{2}a[/tex]. A z kolei okrąg OPISANY na tym kwadracie ma promień równy połowie przekątnej kwadratu, a więc [tex]frac{1}{2}cdot asqrt{2}[/tex].

Pole okręgu opisanego wynosi więc [tex]pi cdot frac{2a^2}{4}[/tex].
Pole okręgu wpisanego wynosi [tex]pi cdot frac{a^2}{4}[/tex].

Podstawiając podane wartości (a = 8 ) mamy, że Pole opisanego wynosi: [tex]32pi[/tex], a wpisanego: [tex]16pi[/tex]. A więc Pole okręgu opisanego jest 2 RAZY większe od pola okręgu wpisanego w dany kwadrat.

- - - - -

ZADANIE 3

Jak widać na rysunku, Pole blatu to pole protokąta + 3/4 pola okręgu. 3/4, ponieważ ta 1/4 jest wliczona w pole prostokąta, a mamy tam kąty proste.

A więc Pole okręgu to [tex]pi cdot 20^2 = 400pi[/tex]. Pole szukane, czyli 3/4 tego odcinka to [tex] frac{3}{4} cdot 400pi = 300pi [cm^2][/tex].

Pole prostokąta to z kolei: [tex]50cm cdot 150cm = 7500 [cm^2][/tex].

A więc szukane pole to [tex]7500 + 300pi = underline{300(25+pi)[cm^2]}[/tex].

- - - - -

ZADANIE 4

Dla kąta środkowego wystarczy po prostu pomnożyć kąt pełny (360 stopni) razy ten łuk, czyli 5/9, a więc szukany kąt środkowy, to [tex]360^{circ} cdot frac{5}{9} = frac{1800^{circ}}{9} = underline{200^{circ}}[/tex].

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co środkowy jest dokładnie połową miary tego środkowego (inaczej, kąt środkowy oparty na pewnym łuku jest dwa razy wiekszy od kata wpisanego opartego na tym samym łuku).

A więc kąt wpisany ma miarę [tex]100^{circ}[/tex].

- - - - -

ZADANIE 5

Jeżeli skonstruujemy sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 6 cm, to ten sześciokąt ma boku również długości 6 cm. Sześciokąt foremny składa się z dokładnie 6 trójkątów równobocznych, również o boku 6 cm każdy. Więc szukane pole to po prostu [tex]6 cdot P_{trojkata}[/tex]. Pole trójkąta równobocznego o boku a (a=6cm) przejawia się wzorem [tex]frac{a^2 sqrt{3}}{4[/tex]. A więc Pole jednego trójkąta o boku 6 cm to [tex]frac{6^2 sqrt{3}}{4} = 9sqrt{3} [cm^2][/tex].

No więc pole sześciokąta to [tex]6cdot 9sqrt{3} = underline{54sqrt{3}[cm^2]}[/tex].

- - - - -

ZADANIE 6

Jeżeli średnica koła ma 70cm, to jego promień ma 35cmp. Długość koła, a więc jego obwód to [tex]2pi r[/tex], a więc [tex]70pi approx 70 cdot 3,14 = 219,8 [cm][/tex].

Do przejechania mamy 220 km = 220 000m = 220 000 00 cm. A więc ilość obrotów koła to po prostu iloraz odległości przez długośc koła:
[tex]ilobr=frac{22000000}{219,8} = 100090,992 approx underline{100091}[/tex]

A więc koło wykona około 100091 obrotów

Czy ktoś mi pomoże?
Zad1
Dwóch studentów planuje podróż z Kowna do Krakowa autobusem lub samochodem. Koszt jednego biletu autobusowego na tej trasie wynosi 169 zł. Uczniom i studentom przysługuje 10% zniżki. Trasa, którą  podróżowali by studenci ma długość 750 km, a ich samochód zużywa średnio 9 litrów benzyny na 100 km. Którym środkiem transportu podróż byłaby tańsza, jeżeli średnia cena za 1 litr benzyny wynosi 1 euro  (1 euro=4zł)

Zad 2
W elektrowni wodnej woda spada na turbinę z wysokości 10 m, przy czym 100% energii wody zostaje przekazane turbinie. Oblicz moc, z jaką pracuje turbina w tej elektrowni, wiedząc, że 1000 ton wody spada na turbinę w czasie 1 sekundy. Wynik podaj w megawatach.

Rozwiązania do zadań

Zatem wychodzi na to, że podróż samochodem wyjdzie taniej.[/u]

[size=9px]Obwod=2 pi r[/tex] z zadania wiemy, że:
[tex]28=2 pi r[/tex]
[tex]r=frac {28}{2 pi}    /  pi = frac {22}{7} [/tex]
[tex]r=frac {28}{frac {44}{7}}[/tex]
[tex]r=frac {49}{11}[/tex]
[tex]P_{zamkniecia}=pi r^2[/tex]
[tex]P_{zamkniecia}=frac {22}{7} cdot (frac {49}{11})^2[/tex]
[tex]P_{zamkniecia}=frac {686}{11}[/tex]
[tex]P_c=P_{boczne}+2 cdot P_{zamkniecia}[/tex]
[tex]P_c=50 cdot 28 + 2 cdot frac {686}{11}[/tex]
[tex]P_c=1400+ frac {1372}{11}[/tex]
[tex]P_c=1400 + 124,(72)[/tex]
[tex]P_c=1524,(72) approx underline {1524,73  [cm^2]}[/tex]