Sprecyzuj zadanie, zrób rysunek, albo coś, Bo nie wiadomo, który bok jest który i gdzie jest kąt alfa.

na www.imageshack.us i przeslij jeden z linków, najlepiej drugi.

oblicz dł. pozostalych bokow trojkata prostokatnego w ktorym sa dane:
1)cos alfa = 8/17
a=16cm
szukane b=? c=?

na podstawie rysunku.

cos alfa = b/c
{
a^2 + b^2 = c^2

Tworzymy taki układ równań.

8/17 = b/c
{
256 + b^2 = c^2

b = 8c/17
{
256 + b^2 = c^2

Podstawiamy z pierwszego do drugiego i skupiamy się na drugim:

256 + (8c/17)^2 = c^2
256 + 64c^2/289 = c^2 /*289
73984 + 64c^2 = 289c^2 /-64c^2
73984 = 225c^2 /:225
73984/225 = c^2 /pierwiastkujemy
272/15 = c

Wracamy do 1 równania:

b = 8c/17
b = 8 * 272/15 * 1/17 = 8 * 16/15 = 128/15

b = 128/15
c = 272/15

--------------------

2)sin alfa = 24/25
b=6cm
szukane a i c =???

Zrób analogicznie jak w pdpkt-cie a)

Sorki, że tak późno, ale wczoraj późno miałem dostęp do kompa i nie miałem głowy do tego...

Przy zadaniach pisz przy okazji, na kiedy muszą być one zrobione

---

Prawie każde zadanie z Rachunku Prawdopodobieństwa można zrobić z pomocą drzewka. Można się oczywiście bawić we wszystkie własności, liczenie prawdopodobieństwa warunkowego, całkowitego itp itd, ale jak wspomniałem wcześniej, prawdopodobieństwo mi nie leży, więc ide na łatwiznę i robię to drzewkiem

1. Najstarsi górale oceniają, że w tym roku szanse na ciepłą jesień są dwa razy większe niż na jesień zimną. Przewidują oni, że jeśli jesień będzie bardzo ciepła, to z prawdopodobieństwem 95% zima będzie śnieżna. Natomiast jeśli jesień będzie zimna, to śnieznej zimy należy się spodziewać z prawdopodobieństwem 90%. Oblicz, jakie według górali, jest prawdopodobieństwo. ze zima będzie śniezna.

DRZEWKO:

OZNACZENIA:
A - Zdarzenie elementarne A (ciepła jesień)
A\' - Zdarzenie przeciwne do zdarzenia elementarnego A (zimna jesień)
B - Zdarzenie elementarne B (śnieżna zima)
B\' - Zdarzenie przeciwne do zdarzenia elementarnego B (zima nie będzie śnieżna)

Teraz skąd się wzięły czerwone liczby na drzewku, oznaczające prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń A,A\',B i B\' ? B i B\' wiemy z treści zadania. Jeśli jesień będzie ciepła (A), to prawd. śnieżnej zimy (B) będzie 95% (95/100) - czyli wiemy, że zima nie będzie śnieżna "na 5%". Analogicznie, jeśli jesień nie będzie ciepła (A\'), to prawdopodobieństwo śnieżnej zimy (B) jest równe 90%, a nieśnieżnej zimy - 10% (100% - 90%).

Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia A i A\' trzeba już było skądś skombinować, dokładniej obliczyć na podstawie wskazówek z treści zadania. Wiemy, że wg górali w tym roku prawdopodobieństwo wystąpienia ciepłej jesieni jest 2x większe od prawdopodobieństwa wystąpienia jesieni zimnej. Stąd wniosek:

P(A) = 2 * P(A\')

Z definicji zdarzenia przeciwnego wiemy, że suma prawdopodobieństw zdarzenia i zdarzenia przeciwnego do tego zdarzenia jest równa 1. Stąd równanie: P(A)   P(A\') = 1

Przekształcamy to równanie i mamy: P(A\') = 1 - P(A). Podstawiamy do tego pierwszego:

P(A) = 2 * ( 1 - P(A) )

Mamy równanie 1 stopnia z 1 niewiadomą, obliczamy:

P(A) = 2 - 2P(A) / 2P(A)
3P(A) = 2 /:3
P(A) = 2/3

P(A\') = 1 - P(A)
P(A\') = 1 - 2/3 = 1/3

P(A) = 2/3
P(A\') = 1/3

Tak wyliczyłem te prawdopodobieństwa na gałęziach do A i A\'.

teraz musimy obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zimy śnieżnej. Mamy już wypełnione drzewko, więc możemy już łatwo obliczyć, skupiając się tylko na gałęziach zakończonych na dole literą "B".

Oznaczamy szukane zdarzenie elementarne i liczymy je:

B - będzie śnieżna zima

P(B) = 2/3 * 95/100   1/3 * 90/100 = 190/300   90/300 = 280/300 = 28/30 = 14/15 =(~) 0,93333... = 0,9(3)

P(B) = 0,9(3)

Odpowiedź: Wg górali w tym roku prawdopodobieństwo wystąpienia śnieżnej zimy jest równe 0,9(3).

--------------------

2. Do worka wrzucono 50 losów loteryjnych, w tym 15 wygrywających

a) wyciągamy dwa losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden los jest wygrywający?

DRZEWKO:

OZNACZENIA:
W - Los wygrywający
NW - Los Niewygrywający
I,II - kolejne wyciągane losy.

Możemy teraz szukać wszystkich gałęzi, gdzie jest przynajmniej jedna litera "W". Prościej będzie jednak policzyć zdarzenie przeciwne do naszego zdarzenia A (Zdarzenie A - co najmniej jeden z wyciągniętych losów jest wygrywający), które będzie brzmiało tak: A\' - żaden z wyciągniętych losów nie jest wygrywający. Otrzymany wynik odejmujemy od jedynki i już mamy wymagany wynik. A więc kolejno:

A - co najmniej jeden z wyciągniętych losów jest wygrywający
A\' - żaden z wyciągniętych losów nie jest wygrywający

P(A\') = 35/50 * 34/49 = 1190/2450 = 119/245 =(~)0,4857

P(A) = 1 - P(A\')
P(A) = 1 - (~)0,4857 =(~) 0,5143

Przypominam, że znaczek "~" oznacza "około" lub przybliżenie.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wyciągnięcia co najmniej jednego losu wygrywającego wynosi ~0,5143.

b) Wyciągamy trzy losy z worka, jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden los jest wygrywający, a dwa przegrywające?

DRZEWKO:
[u[spam]l1.th.jpg[/img][/url]
OZNACZENIA:
W - Los wygrywający
NW - Los niewygrywający
I,II,III - kolejne wyciągnięte losy

Zdarzenie A - jeden los jest wygrywający, a 2 przegrywające.

W tym wypadku szukamy tylko gałęzi z jednym oznaczeniem "W" i dwoma "NW". Jest ich 3.

P(A) = 15/50 * 35/49 * 34/48   35/50 * 15/49 * 34/48   35/50 * 34/49 * 15/48 = 17850/117600   17850/117600   17850/117600 = 53550/117600 = 5355/11760 = 1071/2352 = 357/784 =(~) 0,4554

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania jednego losu wygrywającego i dwóch przegrywających jest równe ~0,4554.

--------------------

3. Z dworca prowadzą dwa wejścia: wyjście A na przystanek autobusowy oraz B na postój taksówek. Stwierdzono, że pasażer wychodzi wyjściem A z prawdopodobieństwem 70%, a wyjściem B z prawdopodobieństwem 30%. Losowo wybrano trzech pasażerów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

DRZEWKO:

OZNACZENIA:
A - wyjście A
B - wyjście B
P1,P2,P3 - Pasażer 1,2,3

KOMENTARZ: Pewnie nie wiesz skąd się wzięło tego typu drzewko, które wygląda jakby się losowało coś z urny i wygrywało lub nie. W sumie zasada jest tu podobna: Wybieramy Pasażera 1 i on wybiera sobie wyjście A lub B. Następnie jakby na podstawie decyzji P1, wybrany P2 wybiera również wejście A lub B. Analogicznie P3, który jakby na podstawie decyzji P1 i P2 wybiera wyjście A lub B. Każdy ma tylko dwie możliwości, ale drzewko jest tak "rozrośnięte", ponieważ od każdej jednej gałęzi muszą wychodzić dwie inne. Mam nadzieję, że zrozumiale wyjaśniłem

a) wszyscy wybiorą wyjście A

A - wszyscy pasażerowie wybrali wyjście A.

Więc interesuje nas tylko gałąź, gdzie są tylko litery "A":

P(A) = 70/100 * 70/100 * 70/100 = 7/10 * 7/10 * 7/10 = 343/1000 = 0,343

b) wszyscy wybiorą to samo wyjście

B - wszyscy pasażerowie wybiorą to samo wyjście

(konieczne jest pisanie tych zdarzeń)

Interesują nas więc tylko gałęzie z wszystkimi "A" i wszystkimi "B". Są ich 2, innych możliwości nie ma.

P(B) = 70/100 * 70/100 * 70/100   30/100 * 30/100 * 30/100 = 7/10 * 7/10 * 7/10   3/10 * 3/10 * 3/10 = 343/1000   27/1000 = 370/1000 = 37/100 = 0,37

c) jeden wybierze wyjście A, a pozostali dwa wyjście B

C - jeden pasażer wybierze wyjście A, pozostali wyjście B.

Interesują nas więc tylko gałęzie, gdzie jest jedno "A" i dwa "B". Jest ich 3.

P(C) = 70/100 * 30/100 * 30/100   30/100 * 70/100 * 30/100   30/100 * 30/100 * 70/100 = 7/10 * 3/10 * 3/10   3/10 * 7/10 * 3/10   3/10 * 3/10 * 7/10 = 63/1000   63/1000   63/1000 = 189/1000 = 0,189.

d) tylko dwaj z nich wybiorą to samo wyjście

D - dwaj pasażerowie wybrali to samo wyjście

Z tym przykładem trzeba byłoby się naliczyć nieprzeciętnie. Ale spójrz na przykład "B". Tam jest powiedziane, że wszyscy muszą wybrać to samo wyjście. Jak spojrzysz na drzewko (spójrz na nie ) to powinnaś zauważyć, że właśnie na wszystkich gałęziach oprócz tych najbardziej z lewej i najbardziej z prawej (wszystkie "A" i wszystkie "B") widnieją po dwa "A" i jedno "B" lub jedno "A" i dwa "B". Czyli to, o co nam chodzi. Interesuje więc nas wszystko oprócz dwóch gałęzi. Wcześniej policzyliśmy zdarzenie B = 0,37. Możemy więc po prostu policzyć zdarzenie B\' - nie wybrano trzech tych samych wyjść. Stosujemy wzór P(B\') = 1 - P(B).

P(B) = 0,37 <= z podpunktu b).
P(D) = P(B\') = 1 - P(B) = 1 - 0,37 = 0,63

Mało liczenia, prawda ?

Jeśli mi nie wierzysz, że tak można zrobić, możemy sprawdzić poprzez liczenie wszystkich gałęzi.

P(D) = 70/100 * 70/100 * 30/100   70/100 * 30/100 * 70/100   70/100 * 30/100 * 30/100   30/100 * 70/100 * 70/100   30/100 * 70/100 * 30/100   30/100 * 30/100 * 70/100 = 7/10 * 7/10 * 3/10   7/10 * 3/10 * 7/10   7/10 * 3/10 * 3/10   3/10 * 7/10 * 7/10   3/10 * 7/10 * 3/10   3/10 * 3/10 * 7/10 = 147/1000   147/1000   63/1000   147/1000   63/1000   63/1000 = 630/1000 = 63/100 = 0,63

Jak widzisz ten sam wynik A jaka różnica w ilości liczenia

--------------------

Pozdrawiam, Rinat, RtMvS.

a) takich generalow moze byc szejsc.

stosujemy wariancje z powtorzeniami czyli 6^5 = 7776

prawdopodobienstwo:

6/7778 = 0,00077 = 0,7%

to by bylo na tyle z tego co pamietam z glowy, a ze staty jakos nigdy nie bylem wybitrnie zdolny

O, albo 1 zadanie najprościej w taki sposób jak Fenris :beer:

Nienawidzę prawdopodobieństwa :/

W kwestii organizacyjnej: prosze nie zapominać o stawianiu piwek: lub punktów "pomógł", taki ukłon w stronę osób pomagających.

Nie wiem czy mają tam być wariacje, kombinacje czy Bóg wie co... najlepiej rozrysować drzewko: najpierw dwie gałęzie R i O (reszka i orzeł) i od każdej następnej kolejne dwie. £ącznie ma być 5 stopni. Zaznaczasz wszystkie gałęzie, gdzie jest 1, 2 lub 3 "R", liczysz iloczyn prawdopodobieństw na każdej gałęzi, a nastepnie wszystko sumujesz i już. Jak wpadnę na to, jak to zrobić bez drzewka, to napiszę.