1)
RYSUNEK:http://img57.imageshack.us/my.php?image=zad1pz7.jpg
Wprowadzamy dane:
a = 4
R = 3
Oraz wzór na pole trójkąta:
P = 1/2 * H * a
Musi być również założenie, że a,R,x > 0 (ponieważ długości odcinków nie mogą przyjmować wartości ujemnych)
Na rysunku mamy zaznaczone, że nasze H = R + x
Czyli nasz wzór na Pole przyjmuje postać: 1/2 * a * (R + x)
"a" i "R" mamy podane, więc do "pełni szczęścia" brakuje nam "x"
Te "x" wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa na tym małym trójkącie, gdzie zaznaczony jest kąt prosty.
Więc pojawia się wzór : (1/2 a)^2 + x^2 = R^2 [przypominam, że "^" w języku internetowym oznacza potęgę]
Teraz do tego powyższego twierdzenia wstawiamy to co mamy (czyli a i R) i liczymy:
(1/2 * 4)^2 + x^2 = 3^2
2^2 + x^2 = 3^2
4 + x^2 = 9
x^2 = 5
czyli x = pierwiastek z 5 LUB x = - pierwiastek z 5
do tego drugiego, ujemnego rozwiązania dajemy strzałkę i piszemy: "odrzucamy", ponieważ z naszych wcześniejszych założeń wynika, że długości odcinków przyjmują wartości DODATNIE.
czyli zostaje: x = pierwiastek z 5
Podstawiamy do H, gdzie H = R + x
czyli wychodzi, że H = 3 + pierw. z 5.
No to teraz podstawiamy do wzoru na Pole:
P = 1/2 * 4 * (3 + pierw. z 5) = 2 * (3 + pierw. z 5).
Można zostawić w takiej postaci, można wymnożyć: P = 6 + 2 pierw. z 5.
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi
6 + 2 pierwiastki z 5. <= ewentualnie wpisujemy tą wcześniejszą wartość, z nawiasem.
----------
2)
RYSUNEK:http://img234.imageshack.us/my.php?image=zad2zf7.jpg
Ponownie wprowadzamy oznaczenia:
a = 12
b = 5
d = 2R <= to wzięło się z twierdzenia, że punkt przecięcia się przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego na tym prostokącie.
Oraz założenia: a,b,d,R>0 (wyjaśnienie takie jak w zad. 1)
d obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z zaznaczonego niebieską linią trójkąta:
d^2 = a^2 + b^2
Podstawiamy:
d^2 = 5^2 + 12^2
d^2 = 25 + 144
d^2 = 169
d = pierwiastek z 13 LUB d = - pierwiastek z 13. Również musimy odrzucić drugie rozwiązanie (zapisać to że odrzucamy !), ponieważ nie zgadza sie z założeniem.
d = 2R => R = d/2
R = 13/2
R = 7,5
Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na tym prostokącie wynosi
7,5----------
3)
RYSUNEK:http://img488.imageshack.us/my.php?image=zad3ex0.jpg
Ponownie oznaczenia: R = 5
D = 2R (z tego samego twierdzenia, co w zad.2)
oraz założenia: D,R,a>0
Wiemy, że czworokątem wpisanym w dany okrąg jest kwadrat. Istnieje wzór na przekątną kwadratu o boku równym "a", powinnaś go znać. Jest to wzór:
D = a * pierwiastek z 2. Jeśli go nie znasz, można go wyprowadzić z Twierdzenia Pitagorasa korzystając z połowy kwadratu. Mamy wtedy trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych równych "a" i przeciwprostokątnej równej "D". Stąd tworzymy wzór na podstawie Tw. Pitagorasa:
D^2 = a^2 + a^2
D^2 = 2*a^2
D^2 = a^2 * 2 <= teraz pierwiastkujemy
D = a * pierwiastek z 2.
Stąd mamy wzór, że przekątna D kwadratu o boku "a" jest równa: D = a*pierwiastek z 2.
Wiemy, że D = 2R, czyli D = 10
Podstawiamy do wyprowadzonego wzoru:
10 = a * pierwiastek z 2 /: pierwiastek z 2
10/pierwiastek z 2 = a /usuwamy niewymierność z mianownika
a = 10/pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2/pierwiastek z 2
a = 10 pierwiastków z 2/2
a = 5 pierwiastów z 2
Odpowiedź: Bok kwadratu wpisanego w ten okrąg wynosi
5 pierwiastków z 2 .
----------
W razie jakichś pytań czy niezrozumiałości proszę pytać
Pozdrówka
