Liceum 1 kl probna matura ( pomoc)

ZADANIE 1:
a)
Najpierw musimy zobaczyć, jak te zbiory przedstawiają się w "systemie" przedziałów.
Rozważmy A:
$A\quad = \quad \left{ x:\quad x\in R \quad \wedge \quad |x-2|\leq 1\right}$
Jeżeli nie wiadomo, jak to odczytać, to napiszę:
"Zbiór A to ogół takich "x", które należą do zbioru liczb rzeczywistych i jednocześnie spełniają warunek [ta nierówność] ".
Liczbami rzeczywistymi się nie przejmujemy, bo to po prostu najogólniej wszystkie liczby. Musimy więc rozważyć ten warunek:
$|x-2| \leq 1 \\ x - 2 \leq 1 \qquad \wedge \qquad x-2 \geq -1 \\ x \leq 3 \qquad \wedge \qquad x \geq 1 \\ \underline{A:\quad x\in \langle 1,3 \rangle}$
Rozważmy teraz zbiór B:
$B\quad = \quad \left{ x:\quad x\in R \quad \wedge \quad (2x-1)^2>4x^2-5x+3 \right}$
Znowu musimy rozważyć podany warunek:
$(2x-1)^2 > 4x^2 - 5x +3$ .
Rozwiązujemy więc tą nierówność:
$4x^2 - 4x + 1 > 4x^2 - 5x +3 \\ x > 2 \\ \underline{B: \quad x\in (2, +\infty )}$ .
Więc zaznaczamy teraz na osi liczbowej znane nam liczby i przedziały na nich (pamiętając o kółeczkach pustych i pełnych w zależności od otwartości/domkniętości przedziału ! )

b)

$A\cap B$ to część wspólna zbiorów A i B, czyli to, co leży jednocześnie i w A, i w B. Z rysunku można to odczytać w taki sposób, że wspólna część to pole, gdzie się te ukośne linie przecinają Mrugnięcie

Pamiętając oczwiście o krańcach (2 nie należy do B, 3 należy do A i do B):
$A\cap B \quad = \quad (2, 3\rangle$
$A$ \ $B$ to różnica zbiorów A i B, czyli to, co należy do A, i jednocześnie NIE należy do B. Zauważmy, że punkt "2" należy do A, ale NIE należy do B (przedział otwarty, kółeczko puste).
A więc:
$A$ \ $B\quad = \quad \langle 1, 2\rangle$

- - - - - - - - -

ZADANIE 2
a)
Mamy funkcję $f(x)$ , która jest prostą o równaniu ogólnym $y = ax + b$
Na wykresie wyraźnie zaznaczone są punkty A i B, o konkretnych współrzędnych, które (jak wiemy i jak widać) należą do prostej, a więc spełniają jej równanie.
Możemy więc do powyższego równania prostej wprowadzić za "x" i "y" wspólrzedne punktów i utworzyć układ równań (pierwsze równanie - podstawienie współrzędnych A, 2 równanie - współ. B):
$\left{ \begin{array}{ll} 4 =-4a + b \\ 2 = 2a + b \end{array}$
Rozwiązujemy, wyznaczamy "a" oraz "b", co nam da ostatecznie równanie szukanej prostej równej $y = f(x)$ .
$\left{ \begin{array}{ll} 4 =-4a + b \\ 2 = 2a + b \qquad /\cdot 2\end{array}$
$\left{ \begin{array}{ll} 4 =-4a + b \\ 4 = 4a + 2b \qquad \end{array}$
$8 = 3b \\ b = \frac{8}{3}$
$2 = 2a + b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2-b}{2} \\ a = \frac{2 - \frac{8}{3}}{2} = -\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$ .

mamy więc prostą $y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ .
Co również jest naszą szukaną funkcją:
$y = f(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$ .

b)
Czy punkt P = (19, -4) należy do prostej ? Sprawdzamy to, podstawiając współrzędne do równania prostej. Jeśli wyjdzie tożsamość (np 1 = 1, 0 = 0, 987 = 987 itd), to punkt NALEŻY do prostej, jeżeli tożsamości nie wyjdzie, będzie równanie sprzeczne, to punkt ten nie należy do prostej.

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \qquad (?) \\ -4 = -\frac{1}{3}\cdot 19 + \frac{8}{3} \qquad (?) \\ -4 = -\frac{19 + 8}{3} \qquad (?) \\ -4 = -\frac{11}{3} \qquad (?) \\ -4 \neq -\frac{11}{3}$
A więc punkt P NIE NALEŻY do prostej $y = f(x)$ .

c)
$6\cdot f(x) \leq 3x + 4$
Znając równanie $f(x)$ , możemy podstawić:
$6 \cdot (-\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}) \leq 3x + 4 \\ -2x + 16 \leq 3x + 4 \\ -5x \leq -12 \\ 5x \geq 12 \\ x \geq \frac{12}{5} \\ \underline{x \in \langle \frac{12}{5}, +\infty )}$ .

- - - - - - - - -

ZADANIE 3
Ach, te zadania na analogię...
$x = 0,(75) = 0,757575\ldots$
W okresie mamy liczbę, która zajmuje 2 miejsca po przecinku, więc mnożymy to przez 100. W przykładzie w okresie były 3 cyfry, dlatego mnożyliśmy przez 1000.
$100x = 75,7575\ldots$
$100x - x = 75,7575\ldots - 0,7575\ldots$
Znikają nam liczby po przecinku
$99x = 75$
$\underline{x = \frac{75}{99}}$

- - - - - - - - - -

ZADANIE 4:
$a = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \\ b = (2^{-1} + 4^{-1})\cdot log_2 16$
Zajmijmy się najpierw a:
Usuwamy niewymierność z mianownika:
$a = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4 + 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{4 + 3\sqrt{2}}{2 - 1} = \underline{4 + 3\sqrt{2}}$
Nie mamy już jak pozbyć się tego pierwiastka. Wiemy, że $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną, wobec czego cała liczba a jest liczbą NIEWYMIERN¡.
teraz b:
Jeżeli nie znasz definicji logarytmu, to w skrócie wygląda ona tak:
$log_a b = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b$ .
Więc jeśli mamy nasz logarytm, to szukamy wykładnika potęgi (x), do którego podstawa (a) da nam liczbę logarytmowaną (b):
$log_2 16 = x \quad \Leftrightarrow \quad 2^x = 16 \\ 2^x = 2^4 \\ \underline{x = 4}$ .
Więc:
$log_2 16 = 4$ , co możemy podstawić do liczby b:
$b = (2^{-1} + 4^{-1})\cdot log_2 16 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})\cdot 4 = 2 + 1 = 3$ .
a 3, jak wiemy, to liczba WYMIERNA.

- - - - - - - -

ZADANIE 5:
a)
Maksymalne przedzialy - trzeba je maksymalnie ograniczyć (czyt. DOMKN¡ć Mrugnięcie

)
Funkcja rosnąca to w skrócie: x rośnie, to y też rośnie.
A więc po odczytaniu z wykresu:
$f-\mbox{rosnaca} \quad \Leftrightarrow \quad x\in \langle -3, 0 \rangle \cup \langle 3, 6\rangle$

b)
wartosci dodatnie:
Najprościej, przykrywamy sobie czymś wszystko to, co znajduje się PONIŻEJ osi OX, te rzeczy są ujemne, wiec nas nie interesują. teraz pozostaje tylko odczytać x, dla których zostają nam te przedziały u góry. UWAGA: Nie bierzemy pod uwagę miejsc zerowych, ponieważ one spełniają równanie y = 0, a nie y > 0 Mrugnięcie

:
$y>0 \quad \Leftrightarrow \quad x \in \langle 6, -5) \cup (-1, 1) \cup (5, 6\rangle$

c)
Ograniczamy ten przedział, nie patrzymy na te dwa "odrosty" (ach te moje słowotwórstwo Chichot

) z lewej i prawej. W przedziale <-5, 5> szukamy, gdzie "y" jest NAJWIEKSZE. Widzimy, ze jest to ten "szczyt noska" w środku, gdzie y = 1.
A więc:
$y_{MAX} = 1 \qquad dla \qquad x \in \langle -5, 5 \rangle$

d)
Jeżeli mamy funkcję $f(x-1)$ , to jest to funkcja $f(x)$ przesunięta o wektor $\vec{u} = [1,0]$ , a więc wszystko przesuwa się o 1 jednostkę W PRAWO, więc po prostu do wszystkich znanych miejsc zerowych z wykresu dodajemy 1:
Zapis:
$f(x-1) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -4 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x = 2 \quad \vee \quad x = 6$ .

e)
$f(x) + 2$ to nic innego jak funkcja $f(x)$ przesunięta o wektor $\vec{u} = [0,2]$ .
A więc wszystko przesuwa się o 2 jednostki w górę. Najprościej odczytujemy więc teraz najniższą wartość (y = -4, argument nie ma znaczenia) i dodajemy do niej 2. A więc:
$y_{MIN} = -2 \qquad \mbox{dla funkcji} \qquad h(x) = f(x) + 2$

- - - - - - - - -

ZADANIE 6:
Załóżmy, że x - cena NETTO (bez podatku) towaru.
A więc $x + 7%x = 1712$
Musimy więc obliczyć ile wynosi y ze wzoru:
$x + 22%x = y$
A nastepnie od "y" odjąc 1712.
Liczymy po kolei, najpierw cenę NETTO:
$107%x = 1712 \\ \frac{107}{100}x = 1712 \\ 107x = 171200 \\ x = \frac{171200}{107} = 1600$
Obłozymy go 22% podatkiem VAT:
$y = 1600 + 22% \cdot 1600 = 1600 + 252 = 1852$ .
teraz liczymy wspomnianą wczesniej różnicę:
$1852 - 1712 = \underline{140 [PLN]}$ .

A więc:
Odpowiedź: Po obłożeniu tego towaru 22% VAT cena wzrosłaby o 140 zł.